[1] 10月のテーマ
テーマ：有理数と無理数はどちらが多いのか(part2)〜無限を比較する方法〜
今回は前回に引き続き4月から8月までの講座の知識をフルに使って、無限個の数の個数を比較する話の第二弾を扱いました。これにてM2で取り扱ってきた長いテーマはひとまず終了で、次の月からはまた新しいテーマに入っていきます。今回はまず数を数えるとはどのようなことかの復習を行い、その後で最終的な結論である有理数と無理数の無限はどちらの方が多いのかを検証しました。
[2] より深い理解のために
講座で取り扱ったような数を数えることの本質はとても面白いです。一見当たり前のように思えるような行為を、より厳密にルールとして整備していく事は難しい作業になりますが、数学者の人たちはこれらを形にしてきました。数を数えることが対応ということに着目し、それを駆使することで自然数の無限とその他の無限を比較することができるようになります。有理数を自然数と対応づける方法などは単純にパズルのようで面白い一面もありますね。
[3] 背理法の活躍
無理数の無限個が自然数の無限個と「同じではない」ことを証明するのは普通の方法ではとても難しいです。というのも、ある1つの対応がうまくいかなかったからといって他の対応を否定できるわけではないので、考えられるすべての対応を考えなければいけません。ただもちろんそのようなことは不可能です。ここで前の講座で取り扱った背理法が活躍します。直接的な証明ができないから証明不可能ではなく、証明すべき内容をそうではないと仮定して矛盾を導く間接証明がいかに画期的かを体感することができたと思います。
