[1] 7月のテーマ
テーマ：論理とは何か(part2)〜無理数を証明する〜
今回は前回に引き続き数学を発展させていく上で重要な話である「論理」についてがテーマとなっています。特に今日は「背理法」という数学で非常に重要な証明方法について実際の数学の例などを交えながら、深掘りしていきました。これまでの流れと合わせて考えてもらうとより面白いです。
[2] より深い理解のために
「背理法」は講座の通り間接証明と呼ばれる証明方法になります。「2乗して2になる数」が無理数であることを背理法を使って証明すること自体は、どの学校でも習うであろうよくある話ではありますが、全てを鵜呑みにしてしまうことはせっかくの考える機会を失ってしまいます。この証明は、「2乗して2になる数」が有理数ではなく、それ以外の数であることを言っているだけです。そのそれ以外の数を無理数というように呼ぶことになったのは前回までの講座の通りですね。
[3]背理法における矛盾
自分が高校生の頃、そもそも矛盾は必ず起こるのかということを考えたことがあります。これは「2乗して2になる数」が無理数であることの証明を見ても分かる通り、よく分からないところで矛盾が発生したように見えたからだと思います。その後数学をより深く学ぶと、命題によっては真と仮定しても偽と仮定しても、どちらも矛盾が一切起こらないような命題があることを知りました。つまり数学には「必ず正しいと言えること」「必ず間違いと言えること」の他に「正しいとも間違いとも言えないこと」が比喩的な話ではなく存在することになります。
